arctanx的导数是什么(arctanx多次求导)
1. 导数(导函数的简称)的定义:设x0是函数y=f(x)定义域的一点,如果自变量x在x0有增量?x,则函数值y引起相应的增量?y=f(x0+?x)-f(x0);比值?y/?x=[f(x0+?x)-f(x0)]/?x称为函数y=f(x)在点x0到x0+?x之间的平均变化率;如果极限
例:f(x)=|x|在点x0=0处连续,但在点x0=0处不可导,因为?y/?x=|?x|/?x,当?x>0时,?y/?x=1;当?x<0时,?y/?x=-1,故
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②以知函数y=f(x)定义域为A,y=f&39;(x)的定义域为B,则A与B关系为包含且等于.
②例如:函数y=f(x)=|x|,在点x=0不可导,但点x=0是函数的极小值点.
(e的x次方)&39;= e的x次方 (a的x次方)&39;=a的x次方lna (arc cotx)&39;=-1/(x2+1)
②如果在x0附近的左侧f&39;(x)<0,右侧f&39;(x)>0,那么f(x0)是极小值.
①如果在x0附近的左侧f&39;(x)>0,右侧f&39;(x)<0,那么f(x0)是极大值;
③无理函数或形如y=x的x次方这类函数,如y=x的x次方取自然对数之后可变形为y=lnx,对两边求导可得y/y=lnx+x*1/x=>y&39;=ylnx+y=>y&39;=x的x次方lnx+x的x次方.
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6. 函数单调性:
⑴函数单调性的判定方法:设函数y=f(x)在某个区间内可导,如果f&39;(x)>0,则y=f(x)为增函数;如果f&39;(x)<0,则y=f(x)为减函数.
例如:设f(x)=2sinx+2/x,g(x)=cosx-2/x,则f(x),g(x)在x=0处均不可导,但它们和f(x)+g(x)=sinx+cosx在x=0处均可导.
(u/v)&39;=(vu&39;-v&39;u)/v2(v≠0)
注:①u,v须是可导函数.
II. (ln x)&39;=1/x (log a x)&39;=1/xlogae (arctanx)&39;=1/(x2+1)
如果函数y=f(x)在区间I内恒有f&39;(x)=0,则y=f(x)为常数.
存在,则称函数y=f(x)在点x0处可导,并把这个极限叫做y=f(x)在x0处的导数,记作f′(x0)或y′|x=x0,即f′(x0)=
注:①f(x)>0是f(x)递增的充分条件,但不是必要条件,如y=2x3在(-∞,+∞)上并不是都有f(x)>0,有一个点例外即x=0时f(x) = 0,同样f(x)<0是f(x)递减的充分非必要条件.
可以证明,如果y=f(x)在点x0处可导,那么y=f(x)点x0处连续.
(x?)&39;=nx(n-1)次方(n∈R) (cosx)&39;=-sinx (arccosx)&39;=-1/√(1-x2)
于是
注①: 若点x0是可导函数f(x)极值点,则f&39;(x)=0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数,其一点x0是极值点的必要条件是若函数在该点可导,则导数值为零.
5. 复合函数的求导法则:f&39;x(φ(x))=f&39;(u)φ&39;(x)或y&39;x=y&39;u·u&39;x
事实上,令x=x0+?x,则x→x0相当于?x→0.
I.C&39;=0(C为常数) (sinx)&39;=cosx (arcsinx)&39;=1/√(1-x2)
(uv)&39;=vu&39;+v&39;u=>(cv)&39;=c&39;v+cv&39;=cv&39;(c为常数)
3. 导数的几何意义:
⑵常数的判定方法;
当函数f(x)在点x0处连续时,
7. 极值的判别方法:(极值是在x0附近所有的点,都有f(x)<f(x0),则f(x0)是函数f(x)的极大值,极小值同理)
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例如:函数y=f(x)=x3,x=0使f&39;(x)=0,但x=0不是极值点.
.
(u±v)&39;=u&39;±v&39;=>y=f?(x)+f?(x)+...+fn(x)=>y&39;=f&39;?(x)+f&39;?(x)+...+f&39;n(x)
注:①?x是增量,我们也称为“改变量”,因为?x可正,可负,但不为零.
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4. 求导数的四则运算法则:
也就是说x0是极值点的充分条件是x0点两侧导数异号,而不是f&39;(x)=0①. 此外,函数不可导的点也可能是函数的极值点②. 当然,极值是一个局部概念,极值点的大小关系是不确定的,即有可能极大值比极小值小(函数在某一点附近的点不同).
②形如y=(x-a?)(x-a?)...(x-an)或y=(x-a?)(x-a?)...(x-an)/(x-b?)(x-b?)...(x-bn)两边同取自然对数,可转化求代数和形式.
②一般地,如果f(x)在某区间内有限个点处为零,在其余各点均为正(或负),那么f(x)在该区间上仍旧是单调增加(或单调减少)的.
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8. 极值与最值的区别:极值是在局部对函数值进行比较,最值是在整体区间上对函数值进行比较.
注:①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.
注:函数的极值点一定有意义.
不存在.
⑴函数y=f(x)在点x0处连续是y=f(x)在点x0处可导的必要不充分条件.
⑵如果y=f(x)点x0处连续,那么y=f(x)在点x0处可导,是不成立的.
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函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义就是曲线y=f(x)在点(x0,f(x))处的切线的斜率,也就是说,曲线y=f(x)在点P(x0,f(x))处的切线的斜率是f&39;(x0),切线方程为y-y0=f&39;(x)(x-x0).
2. 函数y=f(x)在点x0处连续与点x0处可导的关系:
①常用结论:(ln|x|)&39;=1/x.
②若两个函数可导,则它们和、差、积、商必可导;若两个函数均不可导,则它们的和、差、积、商不一定不可导.
复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.
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III. 求导的常见方法:
②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.
9. 几种常见的函数导数:
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